Question

设椭圆的中心是坐标原点,长轴在x轴上,离心率e=,已知点P(0,)到这个椭圆上点的最远距离为,求这个椭圆方程,并求椭圆上到点P的距离为的点的坐标.

Answer 1

椭圆方程为+y²=1.

∵|PM|_max=时,y=-,∴x=±.

∴椭圆上到P点的距离为7的点有两个(±,-).

解析:

设椭圆方程为+=1(a>b>0).

∵e==,

∴c²=a².

由a²=b²+c²,得a=2b,故椭圆方程是+=1(b>0).

设M(x,y)是椭圆上任意一点,则x²=4b²-4y²,

∴|PM|²=x²+(y-)²=4b²-4y²+y²-3y+=-3y²-3y++4b²=-3(y+)²+3+4b².

∵-b≤y≤b(讨论与［-b,b］间的关系),

若b>,则当y=-时,|PM|_max==,∴b=1.

若0<b<,则当y=-b时,|PM|_max==.

∴|b+|=.

∴b=-与b<矛盾.

综上所述b=1.

∴所求椭圆方程为+y²=1.

∵|PM|_max=时,y=-,∴x=±.

∴椭圆上到P点的距离为7的点有两个(±,-).