Question

已知不等式x²-3ax+2a²＜0（a＞0）成立的充分条件是|x-1|＜b，（b＞0），求2a+b的取值范围．

Answer 1

考点：简单线性规划的应用,必要条件、充分条件与充要条件的判断

专题：不等式的解法及应用

分析：根据不等式的解法求出不等式的等价条件，利用充分条件的定义建立不等式关系，利用线性规划的知识即可得到结论．

解答： 解：∵不等式x²-3ax+2a²＜0（a＞0），
∴（x-a）（x-2a）＜0．
即a＜x＜2a．
不等式|x-1|＜b的解为1-b＜x＜1+b，
∵不等式x²-3ax+2a²＜0（a＞0）成立的充分条件是|x-1|＜b，（b＞0），
∴

a＞0，b＞0 a≤1-b 2a≥1+b

，
作出不等式组对应的平面区域如图：
设z=2a+b，
则b=-2a+z，
平移直线b=-2a+z，由图象可知当直线经过点C（1，0）时，直线的截距最大，此时z=2．
当直线经过点A（

1

2

，0）时，直线的截距最小，此时z=2×

1

2

=1，
即1≤z≤2，
∴2a+b的取值范围是[1，2]．

点评：本题主要考查不等式的解法和应用，利用条件结合线性规划的知识是解决本题的关键，综合性较强．