Question

某出版公司为一本畅销书定价如下：C（n）=

12n，1≤n≤24，n∈N* 11n，25≤n≤48，n∈N* 10n，n≥49，n∈N*

这里n表示定购书的数量，C（n）表示定购n本所付的钱数（单位：元）．
（1）有多少个n，会出现买多于n本书比恰好买n本书所花钱少？
（2）若一本书的成本价是5元，现在甲、乙两人来买书（甲、乙不合买），每人至少买1本，甲买的书不多于乙买的书，两人共买60本，问出版公司至少能赚多少钱？最多能赚多少钱？

Answer 1

分析：（1）的解答需要严密的分析，对各段分界点n处的花钱问题是导致买多于n本书反比恰好买n本书所花钱少的现象，本问需要求出
C（23），C（24），C（25），及C（46），C（47），C（48）再来比较．
（2）设甲买n本书，则乙买60-n本，且n≤30，n∈N^*，对n分三段1≤n≤11，12≤n≤24，25≤n≤30时进而60-n也分相应的三段然后进行讨论，这里对n以及对60-n的分类讨论需要结合题意严格分类，否则容易出现交叉导致错误的发生．

解答：解：（1）由于C（n）在各段上都是单调增函数，因此在第一段上不存在买多于n本书比恰好买n本书所花钱少的问题，一定是各段分界点附近因单价的差别造成买多于n本书比恰好买n本书所花钱少的现象．
C（25）=11×25=275，C（23）=12×23=276，∴C（25）＜C（23）．
C（24）=12×24=288，∴C（25）＜C（24）．
C（49）=49×10=490，C（48）=11×48=528，∴C（49）＜C（48）．
C（47）=11×47=517，∴C（49）＜C（47），C（46）=11×46=506，
∴C（49）＜C（46），C（45）=11×45=495，∴C（49）＜C（45）．
∴这样的n有23，24，45，46，47，48，共6个．
（2）设甲买n本书，则乙买60-n本，且n≤30，n∈N^*
①当1≤n≤11时，49≤60-n≤59，
出版公司赚得钱数f（n）=12n+10（60-n）-5×60=2n+300．
②当12≤n≤24时，36≤60-n≤48，
出版公司赚得钱数f（n）=12n+11（60-n）-5×60=n+360．
③当25≤n≤30时，30≤60-n≤35，
出版公司赚得钱数f（n）=11×60-5×60=360．
∴f（n）=

2n+300，1≤n≤11 n+360，12≤n≤24 360，25≤n≤30

．
∴当1≤n≤11时，302≤f（n）≤322；当12≤n≤24时，372≤f（n）≤384；
当25≤n≤30时，f（n）=360．
故出版公司至少能赚302元，最多赚384元．

点评：本题考查函数的模型应用，分段函数模型的建立求解思想的考查，对审题分析的数学综合能力的考查．灵活处理复杂条件下的问答解答能力．运用比较策略解答问题的能力．