Question

如图，设斜率为

4

5

的直线l与椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）相交于A，B两点，若弦AB中点P的坐标为（-

5

2

，2），F为其右焦点．
（1）求椭圆的离心率；
（2）若F点到直线l的距离为

32

41

41

，求△FAB的面积．

Answer 1

分析：（1）设出A，B的坐标，利用点差法，可求得

b2

a2

=

16

25

，从而可求椭圆的离心率；
（2）利用F点到直线l的距离为

32

41

41

，确定椭圆的方程，从而可求△FAB的面积．

解答：解：（1）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），弦AB中点P的坐标为（-

5

2

，2）
∴x₁+x₂=-5，y₁+y₂=4
∵直线l的斜率为

4

5

，∴

y2-y1

x2-x1

=

4

5

∵A，B在椭圆上，
∴

x12

a2

+

y12

b2

=1，

x22

a2

+

y22

b2

=1
两式相减可得：

(x2+x1)(x2-x1)

a2

+

(y2+y1)(y2-y1)

b2

=0
∴

-5(x2-x1)

a2

+

4(y2-y1)

b2

=0
∴

b2

a2

=

16

25

，∴

b

a

=

4

5

∴e=

c

a

=

a2-b2 a2

=

3

5

；
（2）由（1）设a=5k，b=4k，则c=3k（k＞0），∴F（3k，0）
直线l的方程为y-2=

4

5

（x+

5

2

），即4x-5y+20=0
∵F点到直线l的距离为

32

41

41

，∴

|12k+20|

16+25

=

32

41

41

，∴k=1
∴椭圆方程为

x2

25

+

y2

16

=1
∵直线l过椭圆上顶点（0，4）与左顶点（-5，0）
∴|AB|=

41

∴S_△FAB=

1

2

×

41

×

32

41

41

=16．

点评：本题考查直线与椭圆的位置关系，考查点差法的运用，考查三角形面积的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．