Question

如图，直线L过点P（0，1），夹在两已知直线l₁：2x+y-8=0和l₂：x-3y+10=0之间的线段AB恰被点P平分．
（1）求直线l的方程；
（2）设点D（0，m），且AD∥l₁，求：△ABD的面积．

Answer 1

分析：（1）设出直线l₁上的动点B的坐标，由中点坐标公式求出A的坐标，代入直线l₂的方程求得a的值；
（2）利用直线平行斜率相等求出m的值，得到D的坐标，由两点间的距离公式求出AD的长度，由点到直线的距离公式求出AD边上的高，代入面积公式得答案．

解答：解：（1）∵点B在直线l₁：2x+y-8=0上，可设B（a，8-2a），
又P（0，1）是AB的中点，
∴A（-a，2a-6），
∵点A在直线l₂：x-3y+10=0上，∴-a-3（2a-6）+10=0，
解得a=4，即B（4，0）．
故直线l的方程是x+4y-4=0；
（2）由（1）知A（-4，2），
又AD∥l₁，则kAD=

2-m

-4-0

=-2，
∴m=-6，则D（0，-6）．
点A到直线l₁的距离d=

|-4×2+2×1-8|

22+12

=

14 5

5

，
|AD|=

(-4-0)2+(2+6)2

=4

5

，
∴S△ABD=

1

2

|AD|•d=

1

2

•4

5

•

14

5

=28．

点评：本题考查了点到直线的距离公式，考查了两条直线的交点问题，训练了直线平行和斜率的关系．