Question

学习合情推理后，甲、乙两位同学各举一个例子．
甲：由“若三角形周长为l，面积为S，则其内切圆半径r=

2S

l

”类比可得“若三棱锥表面积为S，体积为V，则其内切球半径r=

3V

S

”；
乙：由“若直角三角形两直角边长分别为a、b，则其外接圆半径r=

a2+b2

2

”类比可得“若三棱锥三条侧棱两两垂直，侧棱长分别为a、b、c，则其外接球半径r=

a2+b2+c2

3

”．
这两位同学类比得出的结论正确的是

 

．

Answer 1

分析：类比推理的一般步骤是：（1）找出两类事物之间的相似性或一致性；（2）用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（猜想）．在由平面图形的性质向空间物体的性质进行类比时，常用的思路有：由平面图形中点的性质类比推理出空间里的线的性质，由平面图形中线的性质类比推理出空间中面的性质，由平面图形中面的性质类比推理出空间中体的性质．但由于类比推理的结果不一定正确，故我们还需要进一步的证明．

解答：解：甲的结论：若三棱锥表面积为S，体积为V，则其内切球半径r=

3V

S

”证明如下：
设三棱锥的四个面积分别为：S₁，S₂，S₃，S₄，
由于内切球到各面的距离等于内切球的半径
∴V=

1

3

S₁×r+

1

3

S₂×r+

1

3

S₃×r+

1

3

S₄×=

1

3

S×r
∴内切球半径r=

3V

S

甲同学的类比结论是正确的
而若三棱锥三条侧棱两两垂直，侧棱长分别为a、b、c
其外接球直径等于棱长为a、b、c的长方体的对角线长
∴2r=

a2+b2+c2

∴r=

a2+b2+c2

2

≠

a2+b2+c2

3

故乙甲学的类比结论是不正确的
故答案为：甲

点评：本题考查的知识点是类比推理，在由平面图形的性质向空间物体的性质进行类比时，常用的思路有：由平面图形中点的性质类比推理出空间里的线的性质，由平面图形中线的性质类比推理出空间中面的性质，由平面图形中面的性质类比推理出空间中体的性质．但类比推理的结果不一定是正确的，还需要是进一步的论证．