Question

17．已知锐角△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若acosB=4csinC-bcosA，则cosC=$\frac{\sqrt{15}}{4}$．

Answer 1

分析 由正弦定理，三角形内角和定理，诱导公式，两角和的正弦函数公式化简已知等式可得sinC=4sin²C，结合C为锐角，可求sinC，进而利用同角三角函数基本关系式可求cosC的值．

解答 解：∵acosB=4csinC-bcosA，
∴由正弦定理可得：sinAcosB+sinBcosA=4sin²C，
又∵sinAcosB+sinBcosA=sin（A+B）=sinC，
∴sinC=4sin²C，
∵C为锐角，sinC＞0，cosC＞0，
∴sinC=$\frac{1}{4}$，cosC=$\sqrt{1-si{n}^{2}C}$=$\frac{\sqrt{15}}{4}$．
故答案为：$\frac{\sqrt{15}}{4}$．

点评 本题主要考查了正弦定理，三角形内角和定理，诱导公式，两角和的正弦函数公式，同角三角函数基本关系式在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．