Question

定义在（-1，1）的函数f（x）满足：①对任意x，y∈（-1，1）都有f（x）+f（y）=f(

x+y

1+xy

)；②当0＜x＜1时，f（x）＞0．回答下列问题．
（1）判断函数f（x）的奇偶性，并说明理由；
（2）判断函数f（x）在（-1，1）上的单调性，并说明理由；
（3）若f(

1

7

)=

1

3

，试求f(

2

3

)-f(

1

9

)-2f(

1

17

)的值．

Answer 1

分析：（1）判断函数f（x）的奇偶性：①判断函数定义域是否关于原点对称，②判断f（-x）与f（x）的关系．
（2）证明函数f（x）的单调性，利用定义，分五步①设元，②作差，③变形，④判号，⑤下结论．
（3）利用题中所给的等式，把要求的已知的相结合，逐步求出要求的值．

解答：解：（1）函数定义域为（-1，1）．令x=y=0得f（0）=0，
令y=-x，则有f（x）+f（-x）=0，得f（-x）=-f（x），
所以函数f（x）在区间（-1，1）上是奇函数．（3分）
（2）设-1＜x₁＜x₂＜1，
则f(x2)-f(x1)=f(x2)+f(-x1)=f(

x2-x1

1-x1x2

)
而x₂-x₁＞0，|x₁||x₂|＜1
∴1-x₁x₂＞0
∴

x2-x1

1-x1x2

＞0，
又因为1-x₂＞0，1+x₁＞0
∴（1-x₂）（1+x₁）=1-x₁x₂-x₂+x₁＞0，即1-x1x2＞x2-x1∴

x2-x1

1-x1x2

＜1
∴0＜

x2-x1

1-x1x2

＜1，
所以f(

x2-x1

1-x1x2

)＞0．即当x₁＜x₂时，f（x₁）＜f（x₂），
∴f（x）在区间（-1，1）上是单调递增函数．（8分）
（3）由于f(

2

3

)-f(

1

7

)=f(

11

19

)即f(

2

3

)=f(

1

7

)+f(

11

19

)
∵f(

1

9

)+f(

1

7

)=f(

1

4

)即-f(

1

9

)=f(

1

7

)-f(

1

4

)
∵f(

1

17

)+f(

1

7

)=f(

1

5

)即-2f(

1

17

)=2f(

1

7

)-2f(

1

5

)
又∵f(

1

4

)+f(

1

5

)+f(

1

5

)=f(

3

7

)+f(

1

5

)=f(

11

19

)
∴f(

2

3

)-f(

1

9

)-2f(

1

17

)=f(

1

7

)+f(

1

19

)+f(

1

7

)-f(

1

4

)+2f(

1

7

)-2f(

1

5

)
∴f(

2

3

)-f(

1

9

)-2f(

1

17

)=4f(

1

7

)=

4

3

（14分）

点评：本题考查了抽象函数的奇偶性，单调性，与具体函数的证明方法相同，做题一定要抓牢定义，特别是证明题，一切方法源根本．