Question

已知f（x）是定义在区间[-1，1]上的奇函数，且f（1）=1，若m、n∈[-1，1]，m+n≠0时，有

f(m)+f(n)

m+n

＞0．
（1）证明函数f（x）在[-1，1]上单调递增；
（2）解不等式f（x+

1

2

）＜f（1-x）；
（3）若f（x）≤t²-2at+1对所有x∈[-1，1]，a∈[-1，1]恒成立，求实数t的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由f（x）是定义在区间[-1，1]上的奇函数，m、n∈[-1，1]，m+n≠0时，有

f(m)+f(n)

m+n

＞0，利用定义法能够证明函数f（x）在[-1，1]上单调递增．
（2）f（x+

1

2

）＜f（1-x）等价于

-1≤x+ 1 2 ≤1 -1≤1-x≤1 x+ 1 2 ＜1-x

，由此能求出不等式f（x+

1

2

）＜f（1-x）的解集．
（3）由于f（x）为增函数，f（x）的最大值为f（1）=1，故f（x）≤t²-2at+1对a∈[-1，1]、x∈[-1，1]恒成立，所以t²-2at≥0对任意a∈[-1，1]恒成立，由此能求出实数t的取值范围．

解答：解：（1）∵f（x）是定义在区间[-1，1]上的奇函数，且f（1）=1，
m、n∈[-1，1]，m+n≠0时，有

f(m)+f(n)

m+n

＞0．
∴任取x₁，x₂∈[-1，1]，且x₂≥x₁，
则f（x₂）-f（x₁）=f（x₂）+f（-x₁）=

f(x2)+f(-x1)

x2+(-x1)

•（x₂-x₁）＞0，
∴f（x₂）＞f（x₁），
∴函数f（x）在[-1，1]上单调递增．
（2）∵f（x+

1

2

）＜f（1-x），
∴

-1≤x+ 1 2 ≤1 -1≤1-x≤1 x+ 1 2 ＜1-x

，解得0≤x＜

1

4

，
∴不等式f（x+

1

2

）＜f（1-x）的解集为[0，

1

4

）．
（3）由于f（x）为增函数，∴f（x）的最大值为f（1）=1，
∴f（x）≤t²-2at+1对a∈[-1，1]、x∈[-1，1]恒成立，
∴t²-2at+1≥1对任意a∈[-1，1]恒成立，
∴t²-2at≥0对任意a∈[-1，1]恒成立，
把y=t²-2at看作a的函数，
由a∈[-1，1]，知其图象是一条线段，
∴t²-2at≥0对任意a∈[-1，1]恒成立，
∴

t2-2×(-1)×t≥0 t2-2×1×t≥0

，即

t2+2t≥0 t2-2t≥0

，
解得t≤-2，或t=0，或t≥2．
故实数t的取值范围是{t|t≤-2，或t=0，或t≥2}．

点评：本题考查函数的单调性的求法，考查不等式解集的求法，考查实数的取值范围的求法．解题时要认真审题，注意定义法、等价转化思想、构造法的合理运用．