Question

已知函数=,x∈［0,1］.

       (1)求的单调区间和值域;

       (2)设a≥1,函数g(x)=x³-3a²x-2a,x∈［0,1］,若对于任意x₁∈［0,1］,总存在x₀∈［0,1］,使得g(x₀)=f(x₁)成立,求a的取值范围.

      

Answer 1

解析：(1)对函数求导,得?

       =?

       令=0，解得x=或x=.?

       当x变化时,f′(x)、的变化情况如下表:

所以,当x∈(0, )时, 是减函数;当x∈(,1)时, 是增函数.?

       当x∈［0,1］时, 的值域为［-4,-3］.?

       (2)对函数g(x)求导,得g′(x)=3(x²-a²).?

       因为a≥1,当x∈(0,1)时,g′(x)＜3(1-a²)≤0,?

       即当x∈(0,1)时,g(x)为减函数,从而当x∈［0,1］时有g(x)∈［g(1),g(0)］.?

       又g(1)=1-2a-3a²,g(0)=-2a,即当x∈［0,1］时有g(x)∈［1-2a-3a²,-2a］.?

       任给x₁∈［0,1］,f(x₁)∈［-4,-3］,存在x₀∈［0,1］使得g(x₀)=f(x₁),则［1-2a-3a²,-2a］［-4,-3］,?

       即?

       解①式得a≥1或a≤-;?

       解②式得a≤.?

       又a≥1,故a的取值范围为1≤a≤.