Question

（1）求y=

cosx

2cosx+1

值域
（2）求y=

1+sinx

3+cosx

的值域．

Answer 1

考点：函数的值域

专题：计算题,三角函数的图像与性质,不等式的解法及应用

分析：（1）解出cosx，借助余弦函数的有界性解不等式即可得到值域；
（2）把函数y=

1+sinx

3+cosx

化成整式，化成asinx+bcosx的形式，借助三角函数的有界性求解．

解答： 解：（1）由y=

cosx

2cosx+1

可得，cosx=

y

1-2y

，
由于-1≤cosx≤1，即为|

y

1-2y

|≤1，
即

(1-y)(3y-1)

(1-2y)2

≤0，
解得y≥1或y≤

1

3

，
则值域为（-∞，

1

3

]∪[1，+∞）；
（2）∵y=

1+sinx

3+cosx

，
∴3y+ycosx=1+sinx，
即sinx-ycosx=3y-1，
∴

1+y2

sin（x+θ）=3y-1，
∴sin（x+θ）=

3y-1

1+y2

，
又-1≤sin（x+θ）≤1，
∴-1≤

3y-1

1+y2

≤1，
解得0≤y≤

3

4

，
即函数y=

1+sinx

3+cosx

的值域是[0，

3

4

]．

点评：本题考查三角函数的最值，考查辅助角公式与正弦函数的有界性，考查转化与方程思想，属于中档题．