Question

6．正三棱锥的高为1，底面边长为2$\sqrt{6}$，内有一个球与它的四个面都相切，求：
（1）棱锥的表面积；
（2）内切球的表面积与体积．

Answer 1

分析 （1）过点P作PD⊥平面ABC于D，连结并延长AD交BC于E，连结PE，△ABC是正三角形，AE是BC边上的高和中线，D为△ABC的中心．由此能求出棱锥的全面积．
（2）求出棱锥的体积，设球的半径为r，以球心O为顶点，棱锥的四个面为底面把正三棱锥分割为四个小棱锥，由此能求出球的表面积．

解答 解：（1）如图，过点P作PD⊥平面ABC于D，
连结并延长AD交BC于E，连结PE，△ABC是正三角形，
∴AE是BC边上的高和中线，D为△ABC的中心．
∵AB=2$\sqrt{6}$，
∴S_△ABC=$\frac{\sqrt{3}}{4}$×（2$\sqrt{6}$）²=6$\sqrt{3}$，
DE=$\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}$AB=$\sqrt{2}$，PE=$\sqrt{3}$．
S_△PAB=S_△PBC=S_△PCA=$\frac{1}{2}×2\sqrt{6}×\sqrt{3}$=3$\sqrt{2}$．
∴S_表=9$\sqrt{2}$+6$\sqrt{3}$；
（2）设球的半径为r，以球心O为顶点，棱锥的四个面为底面把正三棱锥分割为四个小棱锥，
∵PD=1，∴V_P-ABC=$\frac{1}{3}$•6$\sqrt{3}$•1=2$\sqrt{3}$．
则由等体积可得r=$\frac{3•2\sqrt{3}}{9\sqrt{2}+6\sqrt{3}}$=$\sqrt{6}$-2，
∴S_球=4π（$\sqrt{6}$-2）²．体积V=$\frac{4}{3}$π（$\sqrt{6}$-2）³．

点评 本题考查棱锥的全面积和体积的求法，考查球的表面积的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．