若A.B是抛物线y2＝4x上的不同两点.弦AB(不平行于y轴)的垂直平分线与x轴相交于点P.则称弦AB是点P的一条“相关弦．已知当x＞2时.点P(x.0)存在无穷多条“相关弦．给定x0＞2． (Ⅰ)证明:点P(x0.0)的所有“相关弦的中点的横坐标相同, (Ⅱ)试问:点P(x0.0)的“相关弦的弦长中是否存在最大值?若存在.求其最大值(用x0表示):若不存在.请说明� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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若A、B是抛物线y²＝4x上的不同两点，弦AB(不平行于y轴)的垂直平分线与x轴相交于点P，则称弦AB是点P的一条“相关弦”．已知当x＞2时，点P(x，0)存在无穷多条“相关弦”．给定x₀＞2．

(Ⅰ)证明：点P(x₀，0)的所有“相关弦”的中点的横坐标相同；

(Ⅱ)试问：点P(x0，0)的“相关弦”的弦长中是否存在最大值？若存在，求其最大值(用x₀表示)：若不存在，请说明理由．

答案：
解析：

　　解：(Ⅰ)设AB为点P(x₀，0)的任意一条“相关弦”，且点A、B的坐标分别是

　　(x₁，y₁)、(x₂，y₂)(x₁x₂)，则y²₁＝4x_1，y²₂＝4x₂，

　　两式相减得(y₁＋y₂)(y₁－y₂)＝4(x₁－x₂)．因为x₁x₂，所以y₁＋y₂0．

　　设直线AB的斜率是k，弦AB的中点是M(x_m，y_m)，则

　　k＝．

　　从而AB的垂直平分线l的方程为

　　又点P(x₀，0)在直线l上，所以－y_m

　　而于是

　　故点P(x₀，0)的所有“相关弦”的中点的横坐标都是x₀－2．

　　(Ⅱ)由(Ⅰ)知，弦AB所在直线的方程是，代入中，

整理得(·)

　　则是方程(·)的两个实根，且

　　设点P的“相关弦”AB的弦长为l，则

　　因为0＜＜4x_m＝4(x_m－2)＝4x₀－8，于是设t＝，则t(0，4x₀－8)．

　　记l²＝g(t)＝－[t－2(x₀－3)]²＋4(x₀－1)^2．

　　若x₀＞3，则2(x₀－3)∈(0，4x₀－8)，所以当t＝2(x₀－3)，即＝2(x₀－3)时，

　　l有最大值2(x₀－1)．

　　若2＜x₀＜3，则2(x₀－1)≤0，g(t)在区间（0，4x₀－8）上是减函数，所以

　　0＜l²＜16(x₀－2)，l不存在最大值．

　　综上所述，当x₀＞3时，点P（x₀，0）的“相关弦”的弦长中存在最大值，且最大值为2（x₀－1）；当2＜x₀≤3时，点P（x₀，0）的“相关弦”的弦长中不存在最大值．

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科目：高中数学 来源： 题型：

若A、B是抛物线y²=4x上的不同两点，弦AB（不平行于y轴）的垂直平分线与x轴相交于点P，则称弦AB是点P的一条“相关弦”．已知当x＞2时，点P（x，0）存在无穷多条“相关弦”．给定x₀＞2．
（I）证明：点P（x₀，0）的所有“相关弦”中的中点的横坐标相同；
（II）试问：点P（x₀，0）的“相关弦”的弦长中是否存在最大值？若存在，求其最大值（用x₀表示）：若不存在，请说明理由．

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若A、B是抛物线y²=4x上的不同两点，弦AB（不平行于y轴）的垂直平分线与x轴相交于点P，则称弦AB是点P的一条“相关弦”；
（I）求点P（4，0）的“相关弦”的中点的横坐标；
（II）求点P（4，0）的所有“相关弦”的弦长的最大值．

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科目：高中数学 来源： 题型：

（本小题满分13分）

若A、B是抛物线y²=4x上的不同两点，弦AB（不平行于y轴）的垂直平分线与

x轴相交于点P，则称弦AB是点P的一条“相关弦”.已知当x>2时，点P（x,0）

存在无穷多条“相关弦”.给定x₀>2.

（I）证明：点P（x₀,0）的所有“相关弦”的中点的横坐标相同；

(II) 试问：点P（x₀,0）的“相关弦”的弦长中是否存在最大值？

若存在，求其最大值（用x₀表示）：若不存在，请说明理由.