Question

在二项式（1+x）ⁿ（n＞1，n∈N^*）的展开式中，含x²项的系数记为a_n，则

lim

n→∞

(

1

a2

+

1

a3

+…+

1

an

)的值为

2

．

Answer 1

分析：由二项式（1+x）ⁿ（n＞1，n∈N^*）的展开式的通项为：T_r+1=C_n^rx^r可得，an=

C

2 n

=

1

2

n(n-1)，则

1

an

=

2

n(n-1)

=

2

n-1

-

2

n

，利用裂项求和，然后求解数列的极限即可

解答：解：二项式（1+x）ⁿ（n＞1，n∈N^*）的展开式的通项为：T_r+1=C_n^rx^r
令r=2可得，an=

C

2 n

=

1

2

n(n-1)
∴

1

an

=

2

n(n-1)

=

2

n-1

-

2

n

∴

lim

n→∞

(

1

a2

+

1

a3

+…+

1

an

)=

lim

n→∞

(

2

1

-

2

2

+

2

2

-

2

3

+…+

2

n-1

-

2

n

)
=

lim

n→∞

(2-

2

n

)=2

点评：本题主要考查了二项展开式的通项的应用，裂项求解数列的和及数列极限的求解，属于中档试题