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    【题目】已知函数.

    （1）当时，证明：在上恒成立；

    （2）若函数有唯一零点，求实数a的取值范围.

    【答案】（1）证明见解析；（2）

    【解析】

    （1）求导得到，得到函数的单调区间，计算最小值为，得到答案.

    （2）求导得到，讨论和两种情况，计算函数的最值得到答案.

    （1），，

    故当时，，故函数在上单调递增，

    故，即在上恒成立.

    （2）依题意，，

    ①当时，恒成立，所以在上单调递增，

    因为，所以有唯一零点，即符合题意；

    ②当时，令，解得，

    故当时，，当时，，

    故，

    （ⅰ）当，即时，，故符合题意；

    （ⅱ）当，即时，，

    因为，且，故，

    故存在，使得，故不符合题意；

    （ⅲ）当，即时，，

    因为，

    设，则，

    故，所以单调递增，即，故，

    又，所以，故存在，使得，

    所以不符合题意.

    综上所述，实数a的取值范围为.

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