【题目】已知函数.
(1)讨论的单调性;
(2)当时,若函数
在
上有且只有一个零点,求实数
的取值范围.
【答案】(1)详见解析 (2)
【解析】
(1)求得函数的导数,分
和
,两种情况讨论,即可求得函数的单调区间;
(2)①当时,根据
,求得
在
上只有一个零点;②当
时,分
、
和
,三种情况讨论,结合函数的单调性和零点的存在定理,即可求解.
(1)由题意,函数的定义域为
,
且,
①当时,令
,即
.解得
;
令,即
,解得
,
所以在
上单调递减,
在
上单调递增;
②当时,由
,得
或
(i)若,则
,所以
在
上单调递增;
(ii)若,则
,令
,可得
或
;
令,解得
,
所以函数在
,
上单调递增,
在
上单调递减;
(iii)若,则
,令
,解得
或
;
令,解得
,
所以函数在
上单调递增,
在
上单调递减.
(2)①当时,函数
,令
得
,
又知当时,
,当
时,
,
此时在
上有且只有一个零点;
②当时,
(i)当时,由(1)知
在
上单调递增,
,
此时在
上有且只有一个零点;
(ii)当时,由(1)结合
的单调性,
,只需讨论
的符号,
当时,由
,可得
在
上有且只有一个零点;
当时时,由
,可得
在
上无零点;
(iii)若由(1)结合
的单调性,
,
,此时
在
上有且只有一个零点,
综上所述,实数的取值范围
.
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【题目】双曲线的左右焦点分别为
,
,
为坐标原点.
为曲线
右支上的点,点
在
外角平分线上,且
.若
恰为顶角为
的等腰三角形,则该双曲线的离心率为( )
A.B.
C.
D.
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【题目】已知某超市2018年12个月的收入与支出数据的折线图如图所示:
根据该折线图可知,下列说法错误的是( )
A. 该超市2018年的12个月中的7月份的收益最高
B. 该超市2018年的12个月中的4月份的收益最低
C. 该超市2018年1-6月份的总收益低于2018年7-12月份的总收益
D. 该超市2018年7-12月份的总收益比2018年1-6月份的总收益增长了90万元
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【题目】“干支纪年法”是中国历法自古以来就使用的纪年方法,甲、乙、丙、丁、戊、已、庚、辛、壬、癸为十天干;子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥为十二地支.“干支纪年法”是以一个天干和一个地支按上述顺序相配排列起来,天干在前,地支在后,已知2017年是丁酉年,2018年是戊戌年,2019年是已亥年,依此类推,则2080年是____________年.
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【题目】已知点,点P为平面上的动点,过点P作直线l:
的垂线,垂足为Q,且
.
Ⅰ
求动点P的轨迹C的方程;
Ⅱ
设点P的轨迹C与x轴交于点M,点A,B是轨迹C上异于点M的不同的两点,且满足
,求
的取值范围.
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【题目】已知椭圆的离心率为
,点
在椭圆
上,焦点为
,圆O的直径为
.
(1)求椭圆C及圆O的标准方程;
(2)设直线l与圆O相切于第一象限内的点P,且直线l与椭圆C交于两点.记
的面积为
,证明:
.
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【题目】袋中有大小相同的红、黄两种颜色的球各1个,从中任取1只,有放回地抽取3次.
求:(1)3只全是红球的概率;
(2)3只颜色全相同的概率;
(3)3只颜色不全相同的概率。
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【题目】在直角坐标系中,圆经过伸缩变换
后得到曲线
.以坐标原点为极点,
轴的正半轴为极轴,并在两种坐标系中取相同的单位长度,建立极坐标系,直线
的极坐标方程为
.
(1)求曲线的直角坐标方程及直线
的直角坐标方程;
(2)设点是
上一动点,求点
到直线
的距离的最大值.
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