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    【题目】袋中有大小相同的红、黄两种颜色的球各1个，从中任取1只，有放回地抽取3次．

    求：（1）3只全是红球的概率；

    （2）3只颜色全相同的概率；

    （3）3只颜色不全相同的概率。

    【答案】（1）（2）（3）

    【解析】

    本题考查等可能事件的概率，相互独立事件同时发生的概率，本题解题的关键是看清条件中所给的是有放回的抽样，注意区别有放回和无放回两种不同的情况，本题是一个中档题目

    （1）由题意知本题是一个相互独立事件同时发生的概率，从袋中摸球，摸到红球的概率是1/2

    ，三次有放回到摸球可以看做是三次独立重复试验，根据概率公式得到结果．

    （2）三只颜色全相同，则可能抽到红色和黄色两种情况，这两种情况是互斥的，根据做出的每个球被抽到的概率和相互独立事件同时发生的概率和互斥事件的概率，得到结果．

    （3）根据二问做出的结果，三只颜色不全相同，是三只颜色全部相同的对立事件，用对立事件的概率得到结果，或者是用树状图列出的结果求出比值．

    解：由于是有放回地取球，因此袋中每只球每次被取到的概率均为．

    Ⅰ、3只全是红球的概率为P1＝··＝．

    Ⅱ、3只颜色全相同的概率为P2＝2·P1＝2·＝．

    Ⅲ、3只颜色不全相同的概率为P3＝1－P2＝1－＝

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    (1)求ξ，η的分布列；

    (2)求ξ，η的数学期望与方差，并以此比较甲、乙的射击技术．

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    （1）讨论的单调性；

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    （1）完成下面的列联表，并判断是否有99.5%的把握认为平均车速超过100的人与性别有关.

    平均车速超过100人数

    平均车速不超过100人数

    合计

    男性驾驶员人数

    女性驾驶员人数

    合计

    （2）以上述数据样本来估计总体，现从高速公路上行驶的大量家用轿车中随机抽取3辆，记这3辆车中驾驶员为男性且车速超过100的车辆数为，若每次抽取的结果是相互独立的，求的分布列和数学期望.

    参考公式与数据：，其中

    0.150

    0.100

    0.050

    0.025

    0.010

    0.005

    0.001

    2.072

    2.706

    3.841

    5.024

    6.635

    7.879

    10.828

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    性别

    选择物理

    选择历史

    总计

    男生

    50

    b

    m

    女生

    c

    20

    40

    总计

    100

    （1）求m，b，c的值；

    （2）请你依据该列联表判断是否有99.5%的把握认为选择科目与性别有关？说明你的理由.

    附：对于2×2列联表

    类1

    类2

    合计

    类A

    a

    b

    a＋b

    类B

    c

    d

    c＋d

    合计

    a＋c

    b＋d

    a＋b＋c＋d

    有，其中.

    P()

    0.100

    0.050

    0.025

    0.010

    0.005

    0.001

    2.706

    3.841

    5.024

    6.635

    7.879

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    2

    3

    4

    6

    8

    10

    13

    21

    22

    23

    24

    25

    13

    22

    31

    42

    50

    56

    58

    68.5

    68

    67.5

    66

    66

    当时，建立了与的两个回归模型：模型①：；模型②：；当时，确定与满足的线性回归方程为：.

    （1）根据下列表格中的数据，比较当时模型①、②的相关指数，并选择拟合精度更高、更可靠的模型，预测对“东方红”款汽车发动机科技改造的投入为17亿元时的直接收益.

    回归模型

    模型①

    模型②

    回归方程

    182.4

    79.2

    （附：刻画回归效果的相关指数，.）

    （2）为鼓励科技创新，当科技改造的投入不少于20亿元时，国家给予公司补贴收益10亿元，以回归方程为预测依据，比较科技改造投入17亿元与20亿元时公司实际收益的大小；

    （附：用最小二乘法求线性回归方程的系数公式 ；）

    （3）科技改造后，“东方红”款汽车发动机的热效率大幅提高，服从正态分布，公司对科技改造团队的奖励方案如下：若发动机的热效率不超过，不予奖励；若发动机的热效率超过但不超过，每台发动机奖励2万元；若发动机的热效率超过，每台发动机奖励5万元.求每台发动机获得奖励的数学期望.

    （附：随机变量服从正态分布，则，.）

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