Question

（2010•枣庄模拟）抛物线D以双曲线C：8y²-8x²=1的焦点F（0，c），（c＞0）为焦点．
（1）求抛物线D的标准方程；
（2）过直线l：y=x-1上的动点P作抛物线D的两条切线，切点为A，B．求证：直线AB过定点Q，并求出Q的坐标；
（3）在（2）的条件下，若直线PQ交抛物线D于M，N两点，求证：|PM|•|QN|=|QM|•|PN|

Answer 1

分析：（1）由题意，求出c值，从而得出F(0，

1

2

)，最后写出抛物线D的标准方程；
（2）先设出切点坐标A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），利用导数的几何意义求以A、B为切点的切线方程，再设出P（x₀，x₀-1），代入两条切线方程，得x₀-1=x₀x₁-y₁．x₀-1=x₀x₂-y₂．故直线AB的方程为x₀-1=x₀x-y，过定点（1，1）
（3）先写出直线PQ的方程y=

x0-2

x0-1

（x-1）+1，代入抛物线方程 y=

1

2

x2，得关于x的一元二次方程，为利用韦达定理准备条件，再设M（x₃，y₃），N（x₄，y₄），要证

|PM|

|PN|

=

|QM|

|QN|

，只需证明

x3-x0

x4-x0

=

1-x3

x4-1

，即2x₃x₄-（1+x₀）（x₃+x₄）+2x₀=0，最后利用韦达定理将x₃+x₄和x₃x₄代入即可得证．

解答：解：（1）由题意，c²=

1

8

+

1

8

=

1

4

，c=

1

2

．
所以F(0，

1

2

)，抛物线D的标准方程为x²=2y．…（3分）
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），P（x₀，x₀-1），
由x2=2y，得y′=x．因此y′|x=x1=x1
抛物线D在点A处的切线方程为y-y₁=x₁（x-x₁），即y=x₁x-y₁．…（4分）
而A点处的切线过点P（x₀，x₀-1），所以x₀-1=x₁x₀-y₁，
即（x₁-1）x₀+1-y₁=0．
同理，（x₂-1）x₀+1-y₂=0．
可见，点A，B在直线（x-1）x₀+1-y=0上．
令x-1=0，1-y=0，解得x=y=1
所以，直线AB过定点Q（1，1）…（6分）
（3）设P（x₀，x₀-1），M（x₃，y₃），N（x₄，y₄），
直线PQ的方程为y=

(x0-1)-1

x0-1

(x-1)+1，即y=

x0-2

x0-1

x+

1

x0-1

．
由

y= x0-2 x0-1 x+ 1 x0-1 x2=2y

，消去y，
得x²-

2(x0-2)

x0-1

x-

2

x0-1

=0．
由韦达定理，x₃+x₄=

2(x0-2)

x0-1

，x3x4=-

2

x0-1

．…（9分）
而|PM|•|QN|=|QM|•|PN|?

|PM|

|PN|

=

|QM|

|QN|

? x3-x0 x4-x0 = 1-x3 x4-1 ?(x3-x0)(x4-1)=(x4-x0)(1-x3) ?2x3x4-(x3+x4)-x0(x3+x4)+2x0=0(*)

…（12分）
将x₃+x₄=

2(x0-2)

x0-1

，x3x4=-

2

x0-1

代入方程（*）的左边，得
（*）的左边=-

4

x0-1

-

2(x0-2)

x0-1

-

2x0(x0-2)

x0-1

+2x0
=

-4-2x0+4-2 x 2 0 +4x0+2 x 2 0 -2x0

x0-1

=0．
因而有|PM|•|QN|=|QM|•|PN|．…（14分）

点评：本题考察了抛物线的切线方程，直线与抛物线相交的性质，解题时要特别注意韦达定理在解题时的重要运用，还要有较强的运算推理能力