Question

16．已知数列{a_n}前n项和为S_n，点（S_n+1，S_n）在直线l：x-3y=2上且直线l过（a₁，0）
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若b_n+1=a_n+b_n，且b₁=1，求b_n的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）由已知得{S_n+1}是首项为3，公比为3的等比数列，从而${S}_{n}={3}^{n}-1$，由此能求出数列{a_n}的通项公式．
（2）由b_n+1=a_n+b_n，b₁=1，得${b}_{n+1}-{b}_{n}={3}^{n}-{3}^{n-1}，{b}_{1}=1$，从而得到${b}_{n}={3}^{n-1}$，由此能求出{b_n}的前n项和．

解答 解：（1）∵数列{a_n}前n项和为S_n，点（S_n+1，S_n）在直线l：x-3y=2上且直线l过（a₁，0）
∴$\left\{\begin{array}{l}{{S}_{n+1}-3{S}_{n}=2}\\{{a}_{1}=2}\end{array}\right.$，
∴S_n+1+1=3（S_n+1），S₁+1=a₁+1=3，
∴{S_n+1}是首项为3，公比为3的等比数列，
∴S_n+1=3ⁿ，∴${S}_{n}={3}^{n}-1$，
∴a₁=S₁=3-1=2，
n≥2，a_n=S_n-S_n-1=3ⁿ-3^n-1，
n=1时，上式成立，
∴${a}_{n}={3}^{n}-{3}^{n-1}$．
（2）∵b_n+1=a_n+b_n，b₁=1，
∴${b}_{n+1}-{b}_{n}={3}^{n}-{3}^{n-1}，{b}_{1}=1$，
∴${b}_{n}={3}^{n-1}$，
∴{b_n}的前n项和：T_n=3⁰+3+3²+…+3^n-1=$\frac{1-{3}^{n}}{1-3}$=$\frac{{3}^{n}-1}{2}$．

点评 本题考查数列的通项公式的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意构造法及等比数列的性质的合理运用．