Question

如图，在五面体ABCDEF中，FA⊥平面ABCD，AD∥BC∥FE，AB⊥AD，M为EC的中点，AF=AB=BC=FE= AD=1．
（1）求异面直线BF与DE所成的角的大小；
（2）求二面角A﹣CD﹣E的余弦值．  

Answer 1

解：（1）由题设知，BF∥CE，
所以∠CED（或其补角）为异面直线BF与DE所成的角．
设P为AD的中点，连接EP，PC．
因为FE=∥AP，所以FA=∥EP，同理AB=∥PC．
又FA⊥平面ABCD，所以EP⊥平面ABCD．
而PC，AD都在平面ABCD内，
故EP⊥PC，EP⊥AD．由AB⊥AD，可得PC⊥AD设FA=a，
则EP=PC=PD=a，CD=DE=EC= a，故∠CED=60°．
所以异面直线BF与DE所成的角的大小为60°．
（2）取CD的中点Q，连接PQ，EQ
由PC=PD，CE=DE
∴PQ⊥CD，EQ⊥CD
∴∠EQP为二面角A﹣CD﹣E的平面角，
由ED=CD= a，
在等边△ECD中EQ= a
在等腰Rt△CPD中，PQ= a
在Rt△EPQ中，cos∠EQP= ．
故二面角A﹣CD﹣E的余弦值为 ．