Question

用总长14.8m的钢条制成一个长方体容器的框架，如果所制做容器的底面的一边比另一边长0.5m，那么高为多少时容器的容积最大？并求出它的最大容积．

Answer 1

分析：先设容器底面短边长为xm，利用长方体的体积公式求得其容积表达式，再利用导数研究它的单调性，进而得出此函数的最大值即可．

解答：解：设容器底面短边长为xm，则另一边长为（x+0.5）m，
高为

14.8-4x-4(x+0.5)

4

=3.2-2x
由3.2-2x＞0和x＞0，得0＜x＜1.6，
设容器的容积为ym³，则有y=x（x+0.5）（3.2-2x）（0＜x＜1.6）
整理，得y=-2x³+2.2x²+1.6x，（4分）
∴y'=-6x²+4.4x+1.6（6分）
令y'=0，有-6x²+4.4x+1.6=0，即15x²-11x-4=0，
解得x₁=1，x2=-

4

15

（不合题意，舍去）．（8分）
从而，在定义域（0，1，6）内只有在x=1处使y'=0．
由题意，若x过小（接近0）或过大（接受1.6）时，y值很小（接近0），
因此，当x=1时y取得最大值，y_最大值=-2+2.2+1.6=1.8，这时，高为3.2-2×1=1.2．
答：容器的高为1.2m时容积最大，最大容积为1.8m³．（12分）

点评：本小题主要考查应用所学导数的知识、思想和方法解决实际问题的能力，建立函数式、解方程、不等式、最大值等基础知识．