Question

用总长14.8m的钢条制作一个长方体容器的框架，如果容器底面的长比宽多0.5m，那么长和宽分别为多少时容器的容积最大？并求出它的最大容积．

Answer 1

分析：将容器容积表示成底面短边长x的函数关系，然后利用导数求此函数的最值，注意如何选择自变量．

解答：解：设容器底面短边长为x m，
则另一边长为（x+0.5）m，高为3.2-2x．
由3.2-2x＞0和x＞0，
得0＜x＜1.6，
设容器的容积为ym³，
则有y=x（x+0.5）（3.2-2x），（0＜x＜1.6）．
整理，得y=-2x³+2.2x²+1.6x，
∴y′=-6x²+4.4x+1.6．--6分
令 y′=0，有x=1．
从而在定义域（0，1.6）内只有在x=1 处使y取最大值，
这时，长x+0.5=1.5m，宽x=1m，高3.2-2x=1.2．
它的最大容积y_max=1.5×1×1.2=1.8m³．
答：长1.5m，宽1m时容器的容积最大，它的最大容积是1.8m³．

点评：本小题主要考查应用所学导数的知识、思想和方法解决实际问题的能力，建立函数式、解方程、不等式、最大值等基础知识