Question

(1)已知，求函数y=x(1－3x)的最大值．

(2)求函数的值域．

Answer 1

答案：略
解析：

(1)解法1：∵，∴1－3x＞0． ∴，当且仅当3x=1－3x，即时，等号成立．∴当时，函数取最大值． 解法2：∵，∴． ∴，当且仅当 ，即时，等号成立． ∴时，函数取最大值． (2)解：当x＞0时，由基本不等式，得，当且仅当x=1时，等号成立；当x＜0时，． ∵－x＞0，∴，当且仅当，即x=－1时，等号成立． ∴． 综上可知：函数的值域为(－∞，－2]∪[2，＋∞)．

提示：

(1)本小题也可以将解析式展开，使用二次函数配方法求解，若使用基本不等式求积的最大值，关键是构造某个和为定值，为使用基本不等式创造条件，同时要注意等号成立的条件是否具备． (2)在利用基本不等式求最值(或值域)时，要注意“一正二定三相等”是否同时具备，否则所求结果可能出错． 第(1)题，求函数的最大值，由极值定理可知，需构造某个和为定值，可考虑把括号内外x的系数变成互为相反数即可；第(2)题中，未指出x＞0，因而不能直接使用基本不等式，需分x＞0与x＜0讨论．