Question

若等边三角形ABC的边长为2

3

，该三角形所在平面内一点M满足

CM

=

1

6

CB

+

2

3

CA

，则

MA

•

MB

等于（　　）

A．-2

B．-1

C．1

D．2

Answer 1

分析：根据等边△ABC边长是2

3

，算出

CA

•

CB

=6．再由向量的线性运算，将

MA

、

MB

分别表示成

CA

、

CB

的组合，最后根据向量数量积的运算性质，将

MA

•

MB

展开表示成

CA

2、

CB

2和

CA

•

CB

的式子，代入题中的数据即可得到

MA

与

MB

的数量积．

解答：解：∵等边三角形ABC的边长为2

3

，
∴

CA

•

CB

=|

CA

|•|

CB

|cos60°=6
∵

CM

=

1

6

CB

+

2

3

CA

∴

MA

=

CA

-

CM

=

CA

-（

1

6

CB

+

2

3

CA

）=

1

3

CA

-

1

6

CB

MB

=

CB

-

CM

=

CB

-（

1

6

CB

+

2

3

CA

）=-

2

3

CA

+

5

6

CB

因此，

MA

•

MB

=（

1

3

CA

-

1

6

CB

）（-

2

3

CA

+

5

6

CB

）=-

2

9

CA

2+

7

18

CA

•

CB

-

5

36

CB

2
代入前面的数据，可得

MA

•

MB

=-

2

9

×12+

7

18

×6-

5

36

×12=-2
故选：A

点评：本题在正三角形中，求两个向量的数量积，着重考查了正三角形的性质、向量的线性运算和向量数量积的运算性质等知识，属于基础题．