Question

13．已知函数f（x）=2cosxsin（x+$\frac{π}{3}$）-$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期和对称中心；
（Ⅱ）求函数f（x）在区间[$\frac{π}{3}$，π]上的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用三角函数恒等变换的应用化简函数解析式可得f（x）=sin（2x+$\frac{π}{3}$），利用三角函数周期公式可求T，令2x+$\frac{π}{3}$=kπ，k∈Z，解得函数的对称中心．
（Ⅱ）由范围x∈[$\frac{π}{3}$，π]，利用正弦函数的图象和性质即可得解函数的取值范围．

解答 （本题满分为13分）
解：（Ⅰ）∵f（x）=2cosxsin（x+$\frac{π}{3}$）-$\frac{\sqrt{3}}{2}$
=2cosx（sinxcos$\frac{π}{3}$+cosxsin$\frac{π}{3}$）-$\frac{\sqrt{3}}{2}$
=sinxcosx+$\sqrt{3}$cos²x-$\frac{\sqrt{3}}{2}$
=$\frac{1}{2}$sin2x+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos2x
=sin（2x+$\frac{π}{3}$），…5分
∴T=$\frac{2π}{2}$=π，…6分
∴令2x+$\frac{π}{3}$=kπ，k∈Z，解得：x=$\frac{kπ}{2}$-$\frac{π}{6}$，k∈Z，即函数的对称中心为：（$\frac{kπ}{2}$-$\frac{π}{6}$，0），k∈Z…7分
（Ⅱ）∵x∈[$\frac{π}{3}$，π]，
∴f（x）在区间[$\frac{π}{3}$，$\frac{7π}{12}$]单调递增，在区间[$\frac{7π}{12}$，π]单调递减，
∵f（$\frac{π}{3}$）=sinπ=0，f（$\frac{7π}{12}$）=sin$\frac{3π}{2}$=-1，f（π）=sin$\frac{π}{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴函数f（x）在区间[$\frac{π}{3}$，π]上的取值范围为[-1，$\frac{\sqrt{3}}{2}$]…13分

点评 本题值域考查了三角函数恒等变换的应用，三角函数周期公式，正弦函数的图象和性质的应用，考查了转化思想和数形结合思想，属于基础题．