Question

已知x₁，x₂是关于x的方程：x²-kx+t=0（k，t∈R）的两个根，且x₁＞0，x₂＞0，记f(t)=(

1

x1

-x1)(

1

x2

-x2)．
（1）求出k与t之间的关系；
（2）若f（t）在其定义域内是单调函数，试求k的取值范围；
（3）解不等式：f（t）≤4．

Answer 1

分析：（1）由题意得

k2-4t≥0     x1+x2=k＞0 x1•x2=t＞0

?0＜t≤

k2

4

．
（2）f（t）的定义域为{t|0＜t≤

k2

4

，k＞0}，f(t)=(

1

x1

-x1)(

1

x2

-x2)=t+

(1-k2)

t

+2，再由函数f（t）在定义域上单调递增性，能求出k的取值范围．
（3）由

k2-4t≥0     x1+x2=k＞0    x1•x2=t＞0

，知f(t)=(

1

x1

-x1)(

1

x2

-x2)=t+

(1-k2)

t

+2≤4，从而得到1-k≤t≤1+k，0＜t≤

k2

4

，k＞0．再由k的取值范围分类求解．

解答：解：（1）由题意得

k2-4t≥0     x1+x2=k＞0 x1•x2=t＞0

?0＜t≤

k2

4

（4分）
（2）f（t）的定义域为{t|0＜t≤

k2

4

，k＞0}，f(t)=(

1

x1

-x1)(

1

x2

-x2)=t+

(1-k2)

t

+2
当函数f（t）在定义域上单调递增时，k≥1；
当函数f（t）在定义域上单调递减时，0＜k≤2

5 -2

∴当f（t）在其定义域内是单调函数时，k的取值范围为(0，2

5 -2

]∪[1，+∞)．（10分）
（3）∵

k2-4t≥0     x1+x2=k＞0    x1•x2=t＞0

∴f(t)=(

1

x1

-x1)(

1

x2

-x2)=t+

(1-k2)

t

+2≤4
∴t²-2t+1-k²=[t-（1-k）][t-（1+k）]≤0?1-k≤t≤1+k，
又0＜t≤

k2

4

，k＞0，（12分）
①当0＜k＜-2+2

2

时，t∈∅；（13分）
②当-2+2

2

≤k＜1时，1-k≤t≤

k2

4

（14分）
③当1≤k＜2+2

2

时，0＜t≤

k2

4

；（15分）
④当k≥2+2

2

时，0＜t≤1+k（16分）．

点评：本题考查不等式性质的综合运用，解题时要认真审题，仔细解答，注意分类讨论思想的合理运用．