Question

某渔业公司年初用98万元购买一艘捕鱼船，第一年各种费用12万元，以后每年都增加4万元，每年捕鱼收益50万元．
（1）问第几年开始获利？
（2）若干年后，有两种处理方案：①年平均获利最大时，以26万元出售该渔船；②总纯收入获利最大时，以8万元出售该渔船．问哪种方案更合算？

Answer 1

分析：（1）由入纯收入等于n年的收入减去n年总的支出，我们可得f（n）=50n-[12+16+…+（8+4n）]-98，化简可得到纯收入关于使用时间n的函数解析式，然后构造不等式，解不等式即可得到n的取值范围．
（2）由（1）中的纯收入关于使用时间n的函数解析式，我们对两种方案分析进行分析比较，易得哪种方案更合算．

解答：解：（1）由题设知每年的费用是以12为首项，4为公差的等差数列．
设纯收入与年数的关系为f（n），
则f（n）=50n-[12+16+…+（8+4n）]-98=40n-2n²-98，
由f（n）＞0，
得10-

51

＜n＜10+

51

又∵n∈N*，
∴3≤n≤17．
即从第3年开始获利．
（2）①年平均收入为

f(n)

n

=40-2(n+

49

n

)≤40-2×14=12，
当且仅当n=7时，年平均获利最大，为12万元/年．
此时，总收益为12×7+26=110（万元）．
②f（n）=-2（n-10）²+102，∵当n=10时，f（n）_max=102（万元）．
此时，总收益为102+8=110（万元）．
由于这两种方案总收入都为110万元，而方案①只需7年、而方案②需要10年，故方案①更合算．

点评：函数的实际应用题，我们要经过析题→建模→解模→还原四个过程，在建模时要注意实际情况对自变量x取值范围的限制，解模时也要实际问题实际考虑．根据函数图象或性质，对两个函数模型进行比较，分析最优解也是函数的主要应用．