Question

（本小题满分12分）抛物线的焦点为F，在抛物线上，且存在实数，使，
（Ⅰ）求直线AB的方程；
（Ⅱ）求△AOB的外接圆的方程。

Answer 1

（Ⅰ）；（2）．

试题分析：（1）先求出抛物线的准线方程，根据 向量关系式
可得到A，B，F三点共线，再由抛物线的定义可表示出| AB|，再设直线AB方程后与抛物线方程进行联立消去y得到关于x的方程，进而可得到两根之和与两根之积，代入到| AB|的表达式中可求出最后k的值，进而得到直线AB的方程．
（2）由（1）中求得的直线方程与抛物线联立可求出A，B的坐标，然后设圆的一般式方程，用待定系数法求出D，E，F的值，得到答案．
解：（Ⅰ）抛物线的准线方程为．
∵，∴A，B，F三点共线．由抛物线的定义，得||=…1分
设直线AB：，而
由得．
∴||== ．∴．
从而，故直线AB的方程为，即
（2）由 求得A（4，4），B（，－1）
设△AOB的外接圆方程为，则
解得
故△AOB的外接圆的方程为．
点评：解决该试题的关键是能根据向量的工具性得到D,F,E三点共线，然后结合根与系数的关系得到参数的值。