Question

关于函数f(x)=

2

sin(2x+

5π

12

)，有下列命题：①f（x）的最大值为

2

；②f（x）是以π为最小正周期的周期函数；③f（x）在区间（

π

24

，

13π

24

）上单调递减；④将函数y=

2

cos2x的图象向左平移

π

24

个单位后，将与f（x）的图象重合，其中正确命题的序号是

①②③

．

Answer 1

分析：由已知中函数的解析式为f(x)=

2

sin(2x+

5π

12

)，结合A=

2

，求出函数的最大值，可判断①；结合ω=2，求出函数的周期，可判断②；由

π

2

+2kπ≤2x+

5π

12

≤

3π

2

+2kπ，k∈Z，求出函数的单调递减区间，可判断③；根据函数图象的平移变换法则，求出将函数y=

2

cos2x的图象向左平移

π

24

个单位后函数的解析式，可判断④．

解答：解：由函数f(x)=

2

sin(2x+

5π

12

)，
∵A=

2

，故函数f（x）的最大值为

2

，即①正确；
∵ω=2，故函数f（x）的是以π为最小正周期的周期函数，故②正确；
由

π

2

+2kπ≤2x+

5π

12

≤

3π

2

+2kπ，k∈Z得，

π

24

+kπ≤x≤

13π

24

+kπ，k∈Z
当k=0时可得区间（

π

24

，

13π

24

）为函数f（x）的单调递减区间，故③正确；
将函数y=

2

cos2x的图象向左平移

π

24

个单位后，得到y=

2

cos2（x+

π

24

）=

2

cos（2x+

π

12

）与f（x）的图象不重合，故④错误
故答案为：①②③

点评：本题以命题的真假判断为载体考查了正弦型函数的图象和性质，熟练掌握正弦型函数的最值，周期，单调性及平移变换法则是解答的关键．