Question

（08年湖南卷文）如图所示，四棱锥的底面是边长为1的菱形，，E是CD的中点，PA底面ABCD，。

（1）证明：平面PBE平面PAB；

（2）求二面角A―BE―P和的大小。

Answer 1

解：解法一（I）如图所示, 连结由是菱形且知，

是等边三角形. 因为E是CD的中点，所以

又所以

              又因为PA平面ABCD，平面ABCD，

所以而因此 平面PAB.

又平面PBE，所以平面PBE平面PAB.

（II）由（I）知，平面PAB, 平面PAB, 所以

又所以是二面角的平面角．

在中, ．

故二面角的大小为

解法二：如图所示,以A为原点，建立空间直角坐标系．则相关各点的坐标分别是

 

（I）因为平面PAB的一个法向量是所以和共线.

从而平面PAB. 又因为平面PBE，所以平面PBE平面PAB.

（II）易知设是平面PBE的一个法向量,

则由得 所以

故可取而平面ABE的一个法向量是

于是,．

故二面角的大小为