Question

已知x、y、z∈R,a、b、c∈R⁺,求证：x²+y²+z²≥2(xy+yz+zx).

Answer 1

分析一：两端都是多项式，可用作差法证.

证明：∵x²+y²+z²-2(xy+yz+zx)

=x²-2xy+y²+x²-2zx+z²+y²-2yz+z²

=(x-y)²+(x-z)²+(y-z)²≥0,

∴x²+y²+z²≥2(xy+yz+zx).

评述：配方技巧的实现关键在于合理分项.

分析二：由左端向右端转化，需消去a、b、c，且右端是乘积的和，故可用“a²+b²≥2ab”.

证明：x²+y²+z²

=(x²+y²)+(x²+z²)+(y²+z²)(∵a、b、c∈R⁺)

≥2·xy+2·xz+2·yz=2(xy+yz+zx).

评述：寻异求同是证明不等式的基本思路.