Question

如图,已知两个正四棱锥P—ABCD与Q—ABCD的高分别为1和2,AB=4.

(1)证明PQ⊥平面ABCD;

(2)求异面直线AQ与PB所成的角;

(3)求点P到平面QAD的距离.

Answer 1

(1)证明:取AD的中点M,连结PM、QM.

因为P—ABCD与Q—ABCD都是正四棱锥,所以AD⊥PM,AD⊥QM.

从而AD⊥平面PQM.

又PQ平面PQM,

所以PQ⊥AD.

同理,PQ⊥AB,所以PQ⊥平面ABCD.

(2)解析:连结AC、BD,设AC∩BD=O,由PQ⊥平面ABCD及正四棱锥的性质可知O在PQ上,从而P、A、Q、C四点共面.

取OC的中点N,连结PN.

因为,

所以,从而AQ∥PN,

∠BPN(或其补角)是异面直线AQ与PB所成的角.

连结BN.

因为PB=

,

所以cos∠BPN=.

从而异面直线AQ与PB所成的角是arccos.

(3)解析:由(1)知,AD⊥平面PQM,所以平面QAD⊥平面PQM.

过P作PH⊥QM于H,则PH⊥平面QAD,所以PH的长为点P到平面QAD的距离.

连结OM,因为OM=AB=2=OQ,

所以∠MQP=45°.

又PQ=PO+QO=3,于是PH=PQsin45°=,

即点P到平面QAD的距离为.