Question

19．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c．已知acosAcosB-bsin²A-ccosA=2bcosB．
（1）求B；
（2）若$b=\sqrt{7}a，{S_{△ABC}}=2\sqrt{3}$，求a．

Answer 1

分析 （1）由正弦定理，三角形内角和定理，三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得2sinBcosB=-sinB，结合sinB≠0，可求cosB=-$\frac{1}{2}$，进而可求B的值．
（2）由已知及余弦定理可求c²+ac-6a²=0，解得c=2a，进而利用三角形面积公式可求a的值．

解答 （本题满分为12分）
解：（1）由正弦定理得：
2sinBcosB=sinAcosAcosB-sinBsin²A-sinCcosA
=sinAcos（A+B）-sinCcosA
=-sinAcosC-sinCcosA
=-sin（A+C）
=-sinB，
∵sinB≠0，
∴cosB=-$\frac{1}{2}$，B=$\frac{2π}{3}$．…（6分）
（2）由b²=a²+c²-2accosB，b=$\sqrt{7}$a，cosB=-$\frac{1}{2}$，得：c²+ac-6a²=0，解得c=2a，…（10分）
由S_△ABC=$\frac{1}{2}$acsinB=$\frac{\sqrt{3}}{2}$a²=2$\sqrt{3}$，得a=2．…（12分）

点评 本题主要考查了正弦定理，三角形内角和定理，三角函数恒等变换的应用，余弦定理，三角形面积公式在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．