Question

已知椭圆＝1(其中a＞b＞0)与直线x＋y＝1交于P、Q两点，且OP⊥OQ，其中O为坐标原点．

(1)求的值；

(2)若椭圆的离心率e满足≤e≤，求椭圆长轴的取值范围．

Answer 1

答案：
解析：

解：设P(x1，y1)、Q(x2，y2)，由OP⊥OQ得x1x2＋y1y2＝0， 　　∵y1＝1－x1，y2＝1－x2，代入x1x2＋y1y2＝0得2x1x2－(x1＋x2)＋1＝0　　① 　　又将y＝1－x代入＝1得(a2＋b2)x2－2a2x＋a2(1－b2)＝0，x1＋x2＝，x1x2＝， 　　代入①式并化简得＝2． 　　(2)由e2＝＝1－及已知得≤1－≤， 　　≤≤． 　　又由(1)知b2＝，所以≤≤，≤a2≤，≤a≤，其长轴2a∈［］． 　　思路解析：本题涉及直线与椭圆的交点，对于此类问题往往联立它们的方程消去其中的一个未知数，再利用根与系数间的关系，从而得到相应的两个交点的坐标间的关系，再结合题目中的其他条件将问题解决．