在平面直角坐标系xOy中,如图,已知椭圆=1的左、右顶点为A、B,右焦点为F.设过点T(t,m)的直线TA,TB与此椭圆分别交于点M(x1,y1)、N(x2,y2),其中m>0,y1>0,y2<0.
(1)设动点P满足PF2-PB2=4,求点P的轨迹;
(2)设x1=2,x2=,求点T的坐标;
(3)设t=9,求证:直线MN必过x轴上的一定点(其坐标与m无关).
【答案】解:由题设得A(-3,0),B(3,0),F(2,0).
(1)设点P(x,y),则PF2=(x-2)2+y2,PB2=(x-3)2+y2.
由PF2-PB2=4,得(x-2)2+y2-(x-3)2-y2=4,化简得x=.
故所求点P的轨迹为直线x=.
(2)由x1=2,=1及y1>0,得y1=,则点M(2,),从而直线AM的方程为y=x+1;
由x2=,=1及y2<0,得y2=-,则点N(,-),从而直线BN的方程为y=.
由
所以点T的坐标为(7,).
(3)由题设知,直线AT的方程为y= (x+3),直线BT的方程为y= (x-3).
点M(x1,y1)满足
得.
因为x1≠-3,则,
解得x1=,
从而得y1=.
点N(x2,y2)满足.
若x1=x2,则由及m>0,得m=2,此时直线MN的方程为x=1,过点D(1,0).
若x1≠x2,则m≠2,直线MD的斜率kMD=,
直线ND的斜率kND=,得kMD=kND,所以直线MN过D点.
因此,直线MN必过x轴上的点(1,0)
科目:高中数学 来源: 题型:
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