Question

（2012•湖南）设定义在R上的函数f（x）是最小正周期2π的偶函数，f′（x）是函数f（x）的导函数，当x∈[0，π]时，0＜f（x）＜1； 当x∈（0，π） 且x≠

π

2

时，（x-

π

2

）f′（x）＞0，则函数y=f（x）-sinx在[-2π，2π]上的零点个数为（　　）

A．2

B．4

C．5

D．8

Answer 1

分析：根据x∈（0，π） 且x≠

π

2

时，（x-

π

2

）f′（x）＞0，确定函数的单调性，利用函数的图形，即可得到结论．

解答：解：∵x∈（0，π） 且x≠

π

2

时，（x-

π

2

）f′（x）＞0
∴x∈（0，

π

2

），函数单调减，x∈（

π

2

，π），函数单调增
∵x∈[0，π]时，0＜f（x）＜1，
在R上的函数f（x）是最小正周期为2π的偶函数，在同一坐标系中作出y=sinx和y=f（x）草图象如下，

由图知y=f（x）-sinx在[-2π，2π]上的零点个数为4个．
故选B

点评：本题考查函数的单调性，考查函数的零点，考查函数的周期性与奇偶性，属于基础题．