Question

5．《九章算术》中有一个“两鼠穿墙”问题：今有垣（墙，读音）厚五尺，两鼠对穿，大鼠日穿（第一天挖）一尺，小鼠也日穿一尺．大鼠日自倍（以后每天加倍），小鼠日自半（以后每天减半）．问何日（第几天）两鼠相逢（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 利用等比数列的求和公式即可得出．

解答 解：由题意可知：大老鼠每天打洞的距离是以1为首项，以2为公比的等比数列，
前n天打洞之和为$\frac{{2}^{n}-1}{2-1}$=2ⁿ-1，
同理，小老鼠每天打洞的距离$\frac{1-\frac{1}{{2}^{n}}}{1-\frac{1}{2}}$=2-$\frac{1}{{2}^{n-1}}$，
∴2ⁿ-1+2-$\frac{1}{{2}^{n-1}}$=5，
即2ⁿ-$\frac{1}{{2}^{n-1}}$=4，
解得n∈（2，3），取n=3
即两鼠在第3天相逢．
故选：C．

点评 本题考查了等比数列的求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．