Question

15．已知数列{a_n}中，${a_1}=1，{a_{n+1}}=2{a_n}+n-1（{n∈{N^*}}）$，则其前n项和S_n=${2^{n+1}}-2-\frac{{n（{n+1}）}}{2}$．

Answer 1

分析 由已知求得a₂=2，进一步得到数列{a_n-a_n-1+1}为等比数列，利用等比数列的通项公式可得a_n-a_n-1，再由“累加求和”方法可得a_n．再利用等比数列的求和公式即可得出．

解答 解：∵a_n+1=2a_n+n-1（n∈N^*），a₁=1，∴a₂=2．
n≥2时，a_n=2a_n-1+n-2，
相减可得：a_n+1-a_n=2a_n-2a_n-1+1，
化为：a_n+1-a_n+1=2（a_n-a_n-1+1），
∴数列{a_n-a_n-1+1}为等比数列，首项为2，公比为2．
∴a_n-a_n-1+1=2×2^n-1，∴a_n-a_n-1=2ⁿ-1．
∴a_n=（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）+…+（a₂-a₁）+a₁
=2ⁿ-1+2^n-1-1+…+2²-1+1
=$\frac{2（1-{2}^{n-1}）}{1-2}-（n-1）+1$=2ⁿ-n．
∴其前n项和S_n=$\frac{2（1-{2}^{n}）}{1-2}-\frac{n（n+1）}{2}$=${2^{n+1}}-2-\frac{{n（{n+1}）}}{2}$．
故答案为：${2^{n+1}}-2-\frac{{n（{n+1}）}}{2}$．

点评 本题考查了数列递推关系、等比数列的通项公式与求和公式、“累加求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．