Question

【题目】已知函数f（x）=cosx+ax2﹣1，a∈R．
（1）当a=0时，求函数f（x）在 处的切线方程；
（2）当a=1时，求函数f（x）在[﹣π，π]上的最大值和最小值；
（3）若对于任意的实数x恒有f（x）≥0，求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：a=0时，f（x）=cosx﹣1，f′（x）=﹣sinx，

∴f′（ ）=﹣1，f（ ）=﹣1，

故切线方程是：y+1=﹣（x﹣ ），

即x+y+ +1=0

（2）解：当a=1时，f（x）=cosx+x2﹣1，f（﹣x）=f（x），是偶函数，

函数f（x）在[﹣π，π]上的最大值及最小值，

即为f（x）在[0，π]上的最大值及最小值，

此时f（x）=cosx+x2﹣1，导数为f′（x）=2x﹣sinx，0≤x≤π，

令g（x）=2x﹣sinx，导数为2﹣cosx＞0，即g（x）递增，

即有g（x）≥g（0）=0，则f′（x）≥0，即f（x）在[0，π]递增，

x=0时，取得最小值0，x=π时，取得最大值π2﹣2，

则有函数f（x）在[﹣π，π]上的最大值π2﹣2，

最小值为0

（3）解：对于任意的实数x恒有f（x）≥0，即有cosx+ax2﹣1≥0，

即ax2≥1﹣cosx≥0，显然a≥0，

x=0时，显然成立；由偶函数的性质，只要考虑x＞0的情况．

当x＞0时，a≥ = ，即为2a≥（ ）2，

由x＞0，则 =t＞0，考虑sint﹣t的导数为cost﹣1≤0，

即sint﹣t递减，即有sint﹣t＜0，即sint＜t，

则有 ＜1，故（ ）2＜1，

即有2a≥1，解得a≥ ．

则实数a的取值范围为[ ，+∞）．

【解析】（1）求出函数的导数，计算f（ ），f′（ ）的值，代入切线方程整理即可；（2）当a=1时，函数f（x）在[﹣π，π]上的最大值及最小值，即为f（x）在[0，π]上的最大值及最小值，求出导数，求得单调性，即可得到最值；（3）对于任意的实数x恒有f（x）≥0，即有cosx+ax2﹣1≥0，即ax2≥1﹣cosx≥0，显然a≥0，运用参数分离和二倍角公式可得2a≥（ ）2 ， 求出右边函数的范围，即可得到a的范围．
【考点精析】解答此题的关键在于理解函数的最大(小)值与导数的相关知识，掌握求函数在上的最大值与最小值的步骤：（1）求函数在内的极值；（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值．