Question

【题目】设f（x）=﹣ x3+ x2+2ax．
（1）当a=1时，求f（x）在[1，4]上的最大值和最小值．
（2）若f （x）在（ ，+∞）上存在单调递增区间，求a的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：f′（x）=﹣x2+x+2 令f′（x）=0，x=2或x=﹣1

f′（x）＞0解得﹣1＜x＜2 f′（x）＞0解得 x＞2或x＜﹣1

所以f（x）在（2，4），）上单调递减，在（1，2）上单调递增．

所以f（x）在[1，4]上的最大值为f（2）= ．．

又f（4）﹣f（1）=﹣ +6＜0，即f（4）＜f（1），

所以f（x）在[1，4]上的最小值为f（4）=8﹣ =﹣

（2）解：由f′（x）=﹣x2+x+2a=﹣（x﹣ ）2+ +2a，

当x∈（ ，+∞）时，f′（x）的最大值为f′（ ）= +2a，令 +2a＞0，得a＞﹣ ，

所以，当a＞﹣ 时，f（x）在（ ，+∞）上存在单调递增区间

【解析】（1）当a=1时，求出导函数，求出极值点，判断函数的单调性，然后求f（x）在[1，4]上的最大值和最小值．（2）利用导函数是二次函数，判断导函数的最值，讨论a的范围，利用f （x）在（ ，+∞）上存在单调递增区间，即可求a的取值范围．
【考点精析】解答此题的关键在于理解利用导数研究函数的单调性的相关知识，掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减，以及对函数的最大(小)值与导数的理解，了解求函数在上的最大值与最小值的步骤：（1）求函数在内的极值；（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值．