Question

已知函数f(x)在(-1,1)上有定义,f()=-1,且满足x、y∈(-1,1)时f(x)+f(y)=f(),

(1)证明f(x)在(-1,1)上为奇函数;

(2)设数列{x_n}中,x₁=,x_n+1=,求用n表示f(x_n)的表达式;

(3)(理)求证:当n∈N^*时,恒成立.

(文)求证: ＞-2.

Answer 1

答案：(1)证明:令x=y=0,得2f(0)=f(0),∴f(0)=0.令y=-x,得f(x)+f(-x)=f(0)=0,∴f(-x)=-f(x).

∴f(x)在(-1,1)上是奇函数.

(2)解：f(x₁)=f()=-1,f(x_n+1)=f()=f()=f(x_n)+f(x_n)=2f(x_n),

∴数列{f(x_n)}是以-1为首项,以2为公比的等比数列.∴f(x_n)=-2^n-1.

(3)证明: =

=,

而

∴当n∈N^*时, 恒成立.