Question

如图，在直角坐标系xOy中有一直角梯形ABCD，AB的中点为O，AD⊥AB，AD∥BC，AB=4，BC=3，AD=1，以A，B为焦点的椭圆经过点C．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若点E（0，1），问是否存在直线l与椭圆交于M，N两点且|ME|=|NE|，若存在，求出直线l的斜率的取值范围；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据题意，确定CA+CB=8，从而可确定椭圆的几何量，即可求椭圆的标准方程；
（2）将直线l：y=kx+m与椭圆联立，利用|ME|=|NE|，取MN中点F，利用k_EF•k=-1及判别式，即可得出直线l的斜率的取值范围．

解答：解：（1）∵AB=4，BC=3，AD⊥AB，AD∥BC
∴AC=5
∴CA+CB=8＞AB=4
∴a=4
∵c=2，∴b²=12
∴椭圆的标准方程为

x2

16

+

y2

12

=1
（2）设直线l：y=kx+m，M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）
将直线l：y=kx+m与椭圆联立可得

y=kx+m x2 16 + y2 12 =1

，消去y得

(3+4k2)x2+8kmx+4m2-48=0

∴

△=64k2m2-4(3+4k2)(4m2-48)＞0

∴16k2+12＞m2

①

∴x1+x2= -8km 3+4k2

，

x1x2= 4m2-48 3+4k2

设MN中点F（x₀，y₀），

∴x0= x1+x2 2 = -4km 3+4k2

，

y0=kx0+m= 3m 3+4k2

∵|ME|=|NE|，∴EF⊥MN，∴k_EF•k=-1，∴

3m 3+4k2 -1

-4km 3+4k2

•k=-1，
∴m=-（4k²+3）
代入①可得：16k²+12＞（4k²+3）²
∴16k⁴+8k²-3＜0
∴-

1

2

＜k＜

1

2

∴k∈(-

1

2

，

1

2

)

点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查存在性问题的探究，解题的关键是直线与椭圆方程联立，利用韦达定理进行求解．