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    （2007•闸北区一模）已知函数f（x）=ax+b，当x∈[a1，b1]时f（x）的值域为[a2，b2]，当x∈[a2，b2]时f（x）的值域为[a3，b3]，…依此类推，一般地，当x∈[an-1，bn-1]时f（x）的值域为[an，bn]，其中a、b为常数且a1=0，b1=1
    （1）若a=1，求数列{an}，{bn}的通项公式．
    （2）若a＞0且a≠1，要使数列{bn}是公比不为1的等比数列，求b的值．
    （3）若a＜0，设数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，求（T1+T2+…+T2000）-（S1+S2+…+S2000）的值．
    分析：（1）a=1时，f（x）=x+b在R上是增函数，由题意知，an=f（an-1）=an-1+b，bn=f（bn-1）=bn-1+b，从而可判断{an}、{bn}都是公差为b的等差数列．根据等差、等比数列的通项公式及a1=0，b1=1可得两数列的通项公式；
    （2）易知f（x）=ax+b在R上也是增函数，由已知有bn=f（bn-1）=abn-1+b（n≥2），可变形为：
    bn
    bn-1
    =a+
    b
    bn-1
    ，若有{bn}是公比不为1的等比数列，则
    b
    bn-1
    是常数，由此可得b值；
    （3）易知f（x）=ax+b在R上是减函数，由已知可得，bn=f（an-1）=a•an-1+b，an=f（bn-1）=a•bn-1+b，则bn-an=-a（bn-1-an-1）（n≥2），易知，{bn-an}是以1为首项，-a为公比的等比数列，
    可得bn-an，从而可求Tn-Sn，则可求得，（T1+T2+…+T2000）-（S1+S2+…+S2000）=（T1-S1）+（T2-S2）+…+（T2000-S2000）的值；
    解答：解：（1）a=1时，f（x）=x+b在R上是增函数，
    由已知，当n≥2时，x∈[an-1，bn-1]，f（x）的值域是[an，bn]，
    ∴an=f（an-1）=an-1+b，bn=f（bn-1）=bn-1+b，
    ∴{an}、{bn}都是公差为b的等差数列．
    ∵a1=0，b1=1，
    ∴an=（n-1）b，bn=（n-1）b+1；
    （2）∵a＞0，a≠1，
    ∴f（x）=ax+b在R上也是增函数，
    由已知有bn=f（bn-1）=abn-1+b，即bn=abn-1+b（n≥2），
    ∴
    bn
    bn-1
    =a+
    b
    bn-1
    ，
    若{bn}是公比不为1的等比数列，则
    b
    bn-1
    是常数，所以b=0；
    （3）∵a＜0，∴f（x）=ax+b在R上是减函数，
    由已知可得，bn=f（an-1）=a•an-1+b，an=f（bn-1）=a•bn-1+b，
    ∴bn-an=-a（bn-1-an-1）（n≥2），
    ∴{bn-an}是以1为首项，-a为公比的等比数列，
    ∴bn-an=（-a）n-1，
    ∴Tn-Sn=（b1-a1）+（b2-a2）+…+（bn-an）=
    n，a=-1
    1-(-a)n
    1+a
    ，a≠-1
    ，
    于是，（T1+T2+…+T2000）-（S1+S2+…+S2000）
    =（T1-S1）+（T2-S2）+…+（T2000-S2000）
    =
    2001000，a=-1
    2000+2001a-a2001
    (1+a)2
    ，a＜0，a≠-1
    ．
    点评：本题考查等差等比数列的通项公式、数列求和等知识，考查学生综合运用知识分析解决问题的能力，难度较大．
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