Question

2．在平面直角坐标系上的区域M由不等式组$\left\{\begin{array}{l}{x+y-1≥0}\\{x-y+1≥0}\\{x≤1}\end{array}\right.$给定，若点P为M上的动点，点A（-2，1），则$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{OA}$的最大值与最小值的和为（　　）

• A． -2
• B． -1
• C． 0
• D． 1

Answer 1

分析 由约束条件作出可行域，利用数量积的坐标表示得到线性目标函数，化为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数求得$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{OA}$的最大值与最小值，则答案可求．

解答 解：由约束条件$\left\{\begin{array}{l}{x+y-1≥0}\\{x-y+1≥0}\\{x≤1}\end{array}\right.$作出可行域如图，

设P（x，y），又A（-2，1），
∴z=$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{OA}$=-2x+y，化为直线方程的斜截式：y=2x+z．
由图可知，当直线y=2x+z过点A（1，0）时，直线在y轴上的截距最小，z有最小值为-2×1+0=-2；
当直线y=2x+z过点C（0，1）时，直线在y轴上的截距最大，z有最大值为-2×0+1=1．
∴$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{OA}$的最大值与最小值的和为-2+1=-1．
故选：B．

点评 本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，利用数量积得到目标函数是解题的关键，是中档题．