Question

已知为实常数，函数.
（1）讨论函数的单调性；
（2）若函数有两个不同的零点；
（Ⅰ）求实数的取值范围；
（Ⅱ）求证：且.（注：为自然对数的底数）

Answer 1

（1）详见解析；（2），证明详见解析.

试题分析：本题主要考查导数的运算，利用导数研究函数的单调性、极值、最值以及不等式等基础知识，考查函数思想、分类讨论思想，考查综合分析和解决问题的能力.第一问，先对函数求导，由于函数有定义域，所以恒大于0，所以对进行讨论，当时，导数恒正，所以函数在上是增函数，当时，的根为，所以将定义域从断开，变成2部分，分别判断函数的单调性；第二问，（1）通过第一问的分析，只有当时，才有可能有2个零点，需要讨论函数图像的最大值的正负，当最大值小于等于0时，最多有一个零点，当最大值大于0时，还需要判断在最大值点两侧是否有纵坐标小于0的点，如果有就符合题意，（2）由（1）可知函数的单调性，只需判断出和的正负即可，经过分析，因为,所以.只要证明:就可以得出结论，所以下面经过构造函数证明，只需求出函数的最值即可.
试题解析：（I）的定义域为．其导数．   1分
①当时，，函数在上是增函数；    2分
②当时，在区间上，；在区间上，．
所以在是增函数，在是减函数.     4分
（II）①由（I）知，当时，函数在上是增函数，不可能有两个零点
当时，在是增函数，在是减函数，此时为函数的最大值，
当时，最多有一个零点，所以，解得， 6分
此时，，且，

令，则，所以在上单调递增，
所以，即
所以的取值范围是       8分
②证法一：
.设 . .
当 时， ；当 时， ；
所以在 上是增函数，在 上是减函数. 最大值为 .
由于 ，且 ，所以 ，所以.
下面证明：当时， .设 ，
则 .在 上是增函数，所以当时，
 .即当时，..
由得 .所以.
所以 ，即，，.
又 ，所以，.
所以 .
即.
由，得.所以， .        12分
②证法二：
由（II）①可知函数在是增函数，在是减函数.
所以.故 
第二部分:分析:因为,所以.只要证明:就可以得出结论
下面给出证明：构造函数：
则：
所以函数在区间上为减函数.,则,又
于是. 又由(1)可知
.即        12分