Question

已知向量

a

=（cosθ，sinθ）（θ∈R），

b

=（-

3

，-1），求|

a

-2

b

|的最值及取得最值时θ的取值集合．

Answer 1

分析：根据向量的数量积运算即

a

2=|

a

|2，由题意和向量数量积以及模的坐标运算求出|

a

-2

b

|的平方，利用两角和的正弦公式进行化简，再由正弦函数的最值求出所求向量模的最值，注意利用整体思想求出对应的角θ的集合．

解答：解：∵

a

=（cosθ，sinθ），

b

=（-

3

，-1），
∴|

a

-2

b

||

a

-2

b

|=（

a

-2

b

）²=

a

²-4

a

•

b

+4

b

²（4分）
=1-4×(-

3

cosθ-sinθ)+4×4=17+8(sinθ•

1

2

+cosθ•

3

2

)
=17+8sin(θ+

π

3

)（7分）
当sin(θ+

π

3

)=1，即θ=2kπ+

π

6

， k∈Z时，|

a

-2

b

|有最大值为

25

=5（11分）
当sin(θ+

π

3

)=-1，即θ=2kπ-

5π

6

， k∈Z时，|

a

-2

b

|有最小值为

9

=3（15分）

点评：本题考查了利用向量的数量积来求向量的模，即

a

2=|

a

|2的应用，根据向量数量积的坐标运算把已知条件代入，利用两角和的正弦公式进行化简，利用整体思想求出最值，考查了整体思想．