Question

（2013•广州一模）甲，乙，丙三位学生独立地解同一道题，甲做对的概率为

1

2

，乙，丙做对的概率分别为m，n（m＞n），且三位学生是否做对相互独立．记ξ为这三位学生中做对该题的人数，其分布列为：

ξ	0	1	2	3
P	1 4	a	b	1 24

（1）求至少有一位学生做对该题的概率；
（2）求m，n的值；
（3）求ξ的数学期望．

Answer 1

分析：（1）利用“至少有一位学生做对该题”事件的对立事件的概率即可得出；
（2）利用P（ξ=0）与P（ξ=3）的概率即可得出m，n；
（3）利用（2）及a=P(ξ=1)=P(A

.

B

.

C

)+P(

.

A

B

.

C

)+P(

.

A

.

B

C)与b=P（ξ=2）=1-P（ξ=0）-P（ξ=1）-P（ξ=3）即可得出a，b．

解答：解：设“甲做对”为事件A，“乙做对”为事件B，“丙做对”为事件C，
由题意知，P(A)=

1

2

，P(B)=m，P(C)=n．
（1）由于事件“至少有一位学生做对该题”与事件“ξ=0”是对立的，
所以至少有一位学生做对该题的概率是1-P(ξ=0)=1-

1

4

=

3

4

．
（2）由题意知P(ξ=0)=P(

.

A

.

B

.

C

)=

1

2

(1-m)(1-n)=

1

4

，
           P(ξ=3)=P(ABC)=

1

2

mn=

1

24

，
整理得  mn=

1

12

，m+n=

7

12

．
由m＞n，解得m=

1

3

，n=

1

4

．
（3）由题意知a=P(ξ=1)=P(A

.

B

.

C

)+P(

.

A

B

.

C

)+P(

.

A

.

B

C)=

1

2

(1-m)(1-n)+

1

2

m(1-n)+

1

2

(1-m)n=

11

24

，
b=P（ξ=2）=1-P（ξ=0）-P（ξ=1）-P（ξ=3）=

1

4

，
∴ξ的数学期望为Eξ=0×

1

4

+1×

11

24

+2×

1

4

+3×

1

24

=

13

12

．

点评：本小题主要考查相互独立事件的概率、利用对立事件的概率求概率的方法、离散型随机变量的均值等基础知识，考查数据处理、推理论证、运算求解能力和应用意识．