Question

已知ab≠0,求证:a+b=1的充要条件是a³+b³+ab-a²-b²=0.

Answer 1

证明：必要性:∵a+b=1,即b=1-a,

∴a³+b³+ab-a²-b²=a³+(1-a)³+a(1-a)-a²-(1-a)²=a³+1-3a+3a²-a³+a-a²-a²-1+2a-a²=0.

充分性:∵a³+b³+ab-a²-b²=0,即(a+b)(a²-ab+b²)-(a²-ab+b²)=0,

∴(a²-ab+b²)(a+b-1)=0.

又ab≠0,即a≠0且b≠0,

∴a²-ab+b²=(a-)²+≠0,只有a+b=1.

综上可知,当ab≠0,a+b=1的充要条件是a³+b³+ab-a²-b²=0.

启示:证明充要条件,需要证明原命题和逆命题都成立,但要分清必要性、充分性分别是什么命题.