Question

我国农业科学家在某地区研究玉米植株生长与时间的函数关系，通过观测、分析，列出了该地区玉米在不同阶段的高度数据：

生长阶段	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11
植株高度（cm）	0.67	0.85	1.28	1.75	2.27	2.75	3.69	4.71	6.36	7.73	9.91
生长阶段	12	13	14	15	16	17	18	19	20	21	22
植株高度（cm）	12.75	16.55	20.1	27.35	32.55	37.55	44.75	53.38	71.61	83.89	97.46
生长阶段	23	24	25	26	27	28	29	30	31
植株高度（cm）	112.73	135.12	153.6	160.32	167.05	174.9	177.87	180.19	180.79

（1）画出函数图形，近似地写出一个函数关系式表达两个变量之间的关系；

（2）利用得出的关系式，与表中实际数据比较；

（3）说出关系式给出的一些信息.

Answer 1

解析：指数函数、对数函数以及幂函数是描述客观变化规律的重要数学模型，本题通过画出函数图形，假设为指数函数，结合图表，可以清楚地看出，第1到第6个生长阶段与实际得到的数据误差很小，后面的数据误差较大.

解：（1）画出函数图形（如下图所示），函数的图形近似于“S”形.

（2）以我们现有的知识很难找出一个函数关系式来近似地表达这个图形，但我们仔细观察第1个生长阶段至第25个生长阶段的函数图象后会发现，它与我们比较熟悉的指数函数的图象相像.

    下面我们来考虑给出第1至第25个生长阶段的一个指数函数关系式.

    假设指数函数为y=ae^bx，并且通过点（2，0.85）和（23，112.73），把这两个点的坐标代入函数关系式，解方程组得a=0.534，b=0.233.

    因此，用指数函数近似得到的关系式为

y=f（x）=0.534e^0.233x.

    由得到的关系式计算出各个生长阶段的近似值如下表：

生长阶段x	1	2		3		4		5		6		7		8		9		10		11		12		13
函数值f(x)	0.67	0.85		1.07		1.36		1.71		2.16		2.73		3.44		4.34		5.48		6.92		8.74		11.03
生长阶段x	14		15		16		17		18		19		20		21		22		23		24		25
函数值f(x)	13.93		17.58		22.2		28.02		35.37		44.66		56.37		71.16		89.84		113.41		143.17		180.73

     从表中我们可以清楚地看出，第1到第6个生长阶段与实际得到的数据误差很小，后面的数据误差较大.

（3）这个指数函数在玉米生长的后几个阶段增长较快，与实际数据中稳定于某一数值附近不符.