Question

如图，在组合体中，ABCD-A₁B₁C₁D₁是一个长方体，P-ABCD是一个四棱锥．AB=2，BC=3，点P∈平面CC₁D₁D且PD=PC=

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．
（Ⅰ）证明：PD⊥平面PBC；
（Ⅱ）若AA₁=a，当a为何值时，PC∥平面AB₁D．

Answer 1

分析：对于（Ⅰ），要证明PD⊥平面PBC，只需证明PD垂直于平面PBC的两条相交直线即可，由PD=PC=

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可得PD⊥PC，而ABCD-A₁B₁C₁D₁是一个长方体，容易证明BC⊥面CC₁D₁D，而P∈平面CC₁D₁D，所以PD?面CC₁D₁D，容易得到PD⊥BC，从而得证；
对于（Ⅱ），由于AB₁∥DC₁，要证PC∥平面AB₁D，只需证明PC∥DC₁，如右图，只需证明∠PCC₁与∠DC₁C互补即可，由于∠PCC₁=135⁰，所以∠DC₁C=45°，即AA₁=a=2．

解答：解：（Ⅰ）证明：因为PD=PC=

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，CD=AB=2，所以△PCD为等腰直角三角形，所以PD⊥PC．（1分）
因为ABCD-A₁B₁C₁D₁是一个长方体，所以BC⊥面CC₁D₁D，而P∈平面CC₁D₁D，所以PD?面CC₁D₁D，所以BC⊥PD．（3分）
因为PD垂直于平面PBC内的两条相交直线PC和BC，由线面垂直的判定定理，可得PD⊥平面PBC．（6分）

（Ⅱ）当a=2时，PC∥平面AB₁D．（9分）
当a=2时，四边形CC₁D₁D是一个正方形，所以∠C₁DC=45°，而∠PDC=45°，所以∠PDC₁=90⁰，所以C₁D⊥PD．（12分）
而PC⊥PD，C₁D与PC在同一个平面内，所以PC∥C₁D．（13分）
而C₁D?面AB₁C₁D，所以PC∥面AB₁C₁D，所以PC∥平面AB₁D．（14分）

点评：本题考查线面垂直的判定及线面平行的判定，要注意线面垂直中的转化思想，第二问中要注意转化到平面内进行证明与判定．